Меню Рубрики

Установка кристаллов тригональной сингонии

Установка кристаллов

Для определения кристаллографических символов и изображения стереографических проекций пользуются стандартными международными правилами установки кристаллов.

Установка кристалла – это выбор кристаллографических осей, единичной (масштабной) грани и его ориентировка в пространстве относительно этих осей и грани.

Кристаллографические системы координат зависят от симметрии кристаллов и изменяются по сингониям. Для кристаллов тригональной и гексагональной сингоний принимаются четыре оси x, y, z, u, а для остальных сингоний x, y, z.

В кристаллографии используется два вида кристаллографических осей: трехкоординатная и четырехкоординатная система (рис. 5.2). Четырехкоординатная система используется в тригональной и гексагональной сингониях, а трехкоординатная – для кристаллов триклинной, моноклинной, ромбической, тетрагональной и кубической сингоний.

Рисунок 5.2 — Направления кристаллографических осей в: а – трехкоординатной, б – четырехкоординатной системах

Для трехкоординатной принята правая система координат, то есть положительными направлениями считаются: для оси Х – вперед на наблюдателя, У – вправо от наблюдателя, Z – вверх. В четырехкоординатной системе оси x, y, u, лежат в одной плоскости, угол между ними составляет 120°, ось z -перпендикулярна им.

Единичную грань принимают таким образом, чтобы она пересекала либо все координатные оси, либо максимальное их число. При этом масштабные отрезки, отсекаемые ею, принимаются за единицы измерения по соответствующей координатной оси.

Для каждой сингонии характерными являются углы между координатными осями: между x и y –α, между z и x – β, между x и y – γ и масштабные отрезки (единичные параметры) на координатных осях: на оси x отрезок обозначается а, на оси у – в, на оси z – с.

Таблица 5.1 — Характеристика систем координат в зависимости от сингонии

Сингония Выбор координатных осей Координатные углы и единичные параметры Единичная грань
Триклинная За оси x,y,z принимают три ребра, которые пересекались бы под углами, более близкими к 90°. За вертикальную ось брать ребро наиболее развитой зоны. α≠β≠γ≠90° а≠в≠с Грани пинакоида или моноэдра
Моноклинная Ось y – L2или ׀ Р, x, и, z – два ребра, перпендикулярные оси У; x- вперед наклонно вниз, z – вертикально вдоль ребра наиболее развитой зоны α= γ=90°≠β β≠120° а≠в≠с Грани ромбической призмы или диэдра
Ромбическая х, у -2L2или нормали к 2Р, Z-L2 α=β=γ=90° а≠в≠с Грани дипирамиды или тетраэдра
Тетрагональная Z-L4( ), x,y-2L2или нормали к 2Р(под углом 90°), при отсутствии – два ребра под углом 90° α=β=γ=90° а=в≠с Грани пирамиды или тетраэдра или дипирамиды
Кубическая x,y,z — 3L4 при отсутствии 3L2 α=β=γ=90° а=в=с Грани октаэдра или тетраэдра
Тригональная или Гексагональная Z- L3, L6( ), x,y,u -2L2 или их отсутствии – три перпендикулярные к оси z ребра под углами 60° α=β=90° а=в≠с γ=120° Грани пирамиды, дипирамиды, ромбоэдра

Оси координат располагаются в соответствии с симметрией кристаллов либо по осям симметрии, либо по нормалям к плоскостям, а если их нет – по ребрам кристаллического многогранника. В табл. 5.1 приведены правила установки кристаллов по сингониям, а также характеристики координатных систем. Фактически в каждой сингонии своя система координат, которая отличается от системы координат другой сингонии координатными углами и единичными параметрами. Только в тригональной и гексагональной сингониях используется единая четырехкоординатная система.

5.3 Закон Гаюи

Открыл этот закон в 1784 году Жан Огюст Гаюи. Это учение о символах основывается на одном из важнейших законов кристаллографии – законе рациональности отношений параметров (закон Гаюи).

Предположим, что тщательно изучив наши рекомендации по установке кристаллов, вы правильно расположили модель кристалла в координатной системе, приняв за координатные оси три непараллельных ребра. А теперь пронаблюдайте, где пересекают координатные оси две грани Вашего кристалла при их мысленном продолжении (рис. 5.3). Одна – единичная, А111, выбранная в соответствии с сингонией по правилам табл. 5.1, отсекает отрезки ОА1, ОВ1, ОС1, называемые единичными параметрами. Другая непараллельная грань (Ax, Bx, Cx) характеризуется параметрами ОAx, ОBx, ОCx.

Читайте также:  Установка и использование размещенные

Рисунок 5.3 — Параметры и кристаллографические оси

Закон Гаюи гласит: двойные отношения параметров, отсекаемые двумя любыми гранями кристалла на трех пересекающихся ребрах его, равны отношениям целых и сравнительно малых чисел

(параметры Вейса)

Наличие целых чисел объясняется решетчатым строением кристаллов. Ребра кристалла соответствуют рядам решетки, грани – плоским сеткам. Плоские сетки — (грани), пересекая три ряда решетки (ребра), образуют на них отрезки (параметры), содержащие целые числа промежутков между узлами решетки (элементарными частицами) (рис. 5.3).

Наличие малых чисел связано с тем, что реальные грани кристаллов построены не любыми плоскими сетками, а только теми, которые обладают наибольшей плотностью расположения в них элементарных частиц.

Закон Гаюи связывает внешнюю форму кристаллов с их внутренним решетчатым строением.

При практическом применении закона Гаюи для определения индексов граней пользуются обратными отношениями параметров, получивших название индексов Миллера:

Индексы Миллера – это величины, обратные параметрам Вейса, приведенные к целым числам. Для получения индексов Миллера в виде трех взаимно простых чисел проводят следующие математические преобразования:

— приводят дроби к общему знаменателю,

— находят дополнительный множитель,

— отбрасывают общий знаменатель,

— сокращают полученное соотношение на общий множитель.

Для примера определим индексы Миллера грани АxВxСx (рис. 5.3), параметры выразим числом промежутков между элементарными частицами (или в мм, см):

Таким образом, любую грань (АxВxСx), а точнее — ее наклон к кристаллографическим осям, можно охарактеризовать тремя целыми и взаимно простыми числами – индексами ( ), представляющими отношения трех дробей, числители которых являются параметрами единичной грани (ОА1,ОВ1, ОС1), а знаменатели соответствуют параметрам искомой грани (Аx, Вx, Сx). После математических преобразований индексы имеют вид небольших целых чисел. Чем больше параметр грани, то есть, чем больший отрезок отсекает грань на координатной оси, тем меньший индекс она имеет по данной оси.

Условное обозначение символов:

Грань – ( ) или ( ) – для кристаллов тригональной и гексагональной сингоний, h – индекс по оси X, k – индекс по оси Y, і – индекс по оси U , l – индекс по оси Z; простая форма – < >; ребро – [ ] (ряд кристаллической решетки) ; вершина – [[ ]] (узел кристаллической решетки).

Если грань пересекает какую-то ось с отрицательной стороны, то над индексом по этой оси ставят знак минус ( ).

В качестве символа простой формы выбирается грань, обладающая максимальным количеством положительных индексов.

На практических занятиях по кристаллографии отрезки, отсекаемые гранями на координатных осях определяем приблизительно при помощи линейки и карандаша. Более точные вычисления производятся на основании специальных формул с применением гониометрических измерений.

5.4 Практические рекомендации по определению кристаллографических символов

Практические рекомендации по определению кристаллографических символов заключаются в следующем:

1. Символ единичной грани, если она пересекает все три координатные оси, (111), независимо от того, какие отрезки – равные или неравные отсекает она по этим осям. В этом легко убедится, подставив в общую формулу вместо ОАx , ОВx, ОСx ее параметры ОА1,ОВ1, ОС1.

2. Если грань, в том числе единичная, параллельна одной или двум координатным осям, то индекс, соответствующий данным осям, равен нулю. Пусть грань параллельна оси x и y, т. е.

3. Для определения символа грани кристалла кубической сингонии достаточно измерить ее отрезки, которые отсекает эта грань по координатным осям, и взять величины им обратные, т.к. ОА1=ОВ1= ОС1.Тогда

Индексы некоторых простых форм кубической сингонии:

гексаэдр<100>, октаэдр<111>, тетраэдр<111>, ромбододекаэдр <110>, пентагондодекаэдр , тетрагексаэдр , гексаоктаэдр

4. В тетрагональной сингонии ОА1= ОВ1≠ ОС1, поэтому общая формула принимает вид

В случае вертикальных граней, т.е. при ОСx= ∞

Индексы некоторых простых форм тетрагональной сингонии:

Читайте также:  Установка rpm пакета alt linux

пинакоид <001>, моноэдр <001><001>, тетрагональные призмы <100>,<110>,, тетрагональные пирамиды и дипирамиды <111>, <101>, , , .

5. В триклинной, моноклинной и ромбической сингониях часто реальная единичная грань, пресекающая все три координатные оси, отсутствует. В указанных сингониях чаще всего используются индексы .

Рисунок 5.4 — Символы граней и простых форм прямоугольного параллелепипеда (ромбическая сингония)

Индексы некоторых простых форм низшей категории:

Ромбические призмы и диэдры <110>, <101>, <011>, , <0kl>, ромбические пирамиды и дипирамиды <111>, .

6. За единичную грань в тригональных и гексагональных кристаллах принимают такую грань, которая отсекает равные отрезки на двух горизонтальных осях, и неравный — по оси Z.

Возможны два случая установки:

1) Грань, отсекающая равные отрезки на двух соседних осях, образующих друг с другом угол 60°, проходит параллельно третьей (рис.5.5а).

Рисунок 5.5 – Варианты установки кристаллов тригональных и гексагональных сингоний

2) Грань, отсекающая равные отрезки на двух горизонтальных осях, образующих угол 120° и пересекает третью ось (рис. 5.5б). Отрезок по последней оси вдвое короче отрезков по двум другим осям.

Важно заметить, что алгебраическая сумма первых трех индексов всегда равна нулю. Из четырех индексов грани третий і не является независимым и определяется первым двумя і = — (h+ k).

Для примера обозначения граней кристаллов с помощью символов вернемся к рис.5.1. Согласно правилу установки (табл.5.1), ось z выбираем вдоль L4. оси x, y в случае а) – по осям L2,проходящим через середины ребер кристалла; в случае б) – по осям L2, проходящим через середины граней. Тогда единичная грань дипирамиды и в том, и в другом случае отсекает на двух горизонтальных осях равные масштабные отрезки и неравный отрезок по третьей оси.

1.Установка кристалла в случае (а)

Дипирамида: индексы граней — (111),( 11),( 1),(1 1),(11 ),( ),(1 ),( ); обобщенный символ простой формы <111>.

Призма: индексы граней (110), ( 10), ( 0), (1 0); обобщенный символ простой формы<110>.

2. Установка кристалла в случае (б)

Дипирамида: Индексы граней и символ простой формы аналогично (а).

Призма: индексы граней (100), (010), ( 00), (0 0); обобщенный символ простой формы призмы<100>.

Приведенные символы дают ясное представление о неодинаковом расположении граней на обоих кристаллах.

источник

Кристаллографические оси. Установка кристаллов различных сингонии. Константы кристаллической решетки

Для построения наглядных стереографических проекций и определения символов граней кристаллов разных сингоний применяют установку кристаллов. Под установкой кристаллов понимают выбор определенных направлений за координатные оси и одной из наклонных к ним граней кристалла за единичную. Обычно координатные оси проводятся параллельно ребрам и часто по осям симметрии кристалла и называются кристаллографическими осями.

Рис. 49. Осевые углы

При установке кристаллов и выборе координатных осей следует иметь в виду, что углы между кристаллографическими осями могут отличаться от 90° в зависимости от принадлежности кристалла к той или иной сингонии. Принято осевые углы (рис. 49) обозначать буквами греческого алфавита: а (угол между осями Уи Z), р (угол между осями Zh Z) и у (угол между осями Хи У). Отношение осевых единиц а.Ь.с и осевые углы а, (3 и у называются константами кристаллической решетки. В табл. 4 приводятся константы кристаллической решетки для каждой сингонии.

К наиболее простой относится установка кристаллов высшей категории — кубической сингонии (см. рис. 48). Здесь кристаллографические оси устанавливаются вдоль осей симметрии четвертого порядка или в случае их отсутствия по осям второго порядка. Все три кристаллографические оси будут взаимно перпендикулярны, т. е. а = р = у = 90°. За единичную грань принимают грань тетраэдра или октаэдра, символ которых будет (1 1 1). Осевые отрезки, отсекаемые на кристаллографических осях, равны между собой: а = b = с. Ось Zpacпoлaгaeтcя вертикально, оси Хи У — горизонтально. Причем положительное значение оси X направляется на наблюдателя, положительное значение У — слева направо.

Читайте также:  Установка контроля поверхностного загрязнения персонала

В триклинной сингонии кристаллографические оси проводятся параллельно трем произвольно выбранным ребрам, не лежащим

Константы кристаллической решетки

Рис. 50. Установка кристаллов различных сингоний:

1 — триклинной; 2 — моноклинной; 3 — ромбической; 4 — тетрагональной; 5 — гексагональной; б — тригональной (показано сечение тригональной призмы)

в одной плоскости (рис. 50, 1). За единичную грань берут любую грань, пересекающую координатные оси. У нас получается косоугольная система координат, где а ф (3 ф у ф 90°, а осевые единицы офЬфс.

В моноклинной сингонии ось У проводится параллельно оси второго порядка, а при ее отсутствии — перпендикулярно к плоскости симметрии. Ось Zпроводится вертикально и перпендикулярно коси У. Ось ^проводится перпендикулярно к оси У, положительный конец оси Xнаправлен на наблюдателя и наклонен вниз (рис. 50,2). Здесь мы имеем: а = у = 90°, р ф 90°, а ф b фс. За единичную грань принимают любую грань, пересекающую все три кристаллографические оси.

В ромбической сингонии кристаллографические оси проводятся через три взаимно перпендикулярные оси симметрии второго порядка. При наличии одной оси симметрии второго порядка через нее проводят ось Z. Две другие оси в этом случае проводятся перпендикулярно к плоскости симметрии. За единичную грань принимают любую грань, пересекающую все три кристаллографические оси. При установке кристалла ось X направляют на наблюдателя, ось У — слева направо

(рис. 50, 3). Для ромбических кристаллов а = р = у = 90°, следовательно, это прямоугольная система координат, аФЬ*с — все отрезки, отсекаемые на осях, разные.

В тетрагональной сингонии ось Z проходит вдоль оси четвертого порядка, X и Y взаимно перпендикулярны друг другу и оси Z и располагаются вдоль осей второго порядка (рис. 50, 4). Если осей второго порядка нет, то оси X и Y проводятся перпендикулярно к вертикальным плоскостям симметрии или параллельно ребрам кристалла. Следует иметь в виду, что в тетрагональной сингонии при наличии 4 осей второго порядка выбор положения осей X и Y не однозначен, так как их можно провести через любую пару осей, проходящих через середины противоположных ребер или через середины противоположных граней тетрагональной призмы. В тетрагональной сингонии а = Р = у = 90°, а = Ьф с. Единичная грань отсекает равные отрезки на горизонтальных осях и пересекает вертикальную ось.

В гексагональной и тригональной сингониях применяют систему координат с четырьмя кристаллографическими осями. Помимо осей X,Y,Zиспользуется дополнительная ось U. Она проводится в одной плоскости с осями X и Y под углом 120° к ним (рис. 50, 5, 6). Ось Z устанавливают соответственно вдоль оси шестого или третьего порядков. Остальные оси проводятся вдоль осей второго порядка, если их нет — перпендикулярно к плоскостям симметрии или параллельно трем ребрам кристалла, расположенным под углом 60° друг к другу и перпендикулярным к оси Z. Единичная грань отсекает на двух горизонтальных осях равные отрезки и пересекает ось Z. Необходимо отметить, что единичная грань либо параллельна одной горизонтальной оси, либо отсекает на ней отрезок вдвое меньший, чем на двух других горизонтальных осях.

Для гексагональной и тригональной сингоний: а = р = 90°, у — 120°, а Ьфс.

Для кристаллов тригональной сингонии возможна и другая установка, когда за координатные оси выбирают три ребра ромбоэдра или пирамиды. В этом случае а = р = у = 90°, а = b = с.

Символы граней в гексагональной и тригональной сингониях будут состоять из четырех индексов. Индекс по оси X (первой кристаллографической оси) обозначается /г, по Y (второй кристаллографической оси) — k, по U (третьей кристаллографической оси) — /, по Z (четвертой кристаллографической оси) — /. Таким образом, символ грани данных сингоний в общей форме выразится (hkil). Индекс i может быть вычислен по формуле i = -(И + к), т. е. равен сумме индексов по первым двум осям с обратным знаком.

источник